حل 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

برای n حل کنید

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13.25$$

$$n=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$5n+4n^{2}=636$$

636 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4n^{2}+an+bn-636 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -2544 است فهرست کنید.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-48 b=53$$

4n^{2}+5n-636 را به‌عنوان \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

در گروه اول از 4n و در گروه دوم از 53 فاکتور بگیرید.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-12=0 و 4n+53=0 را حل کنید.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$5n+4n^{2}=636$$

636 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 5 را با b و -636 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

5 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

25 را به 10176 اضافه کنید.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 10201 را به دست آورید.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

اکنون معادله n=\frac{-5±101}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 101 اضافه کنید.

$$n=\frac{96}{8}$$

96 را بر 8 تقسیم کنید.

$$n=12$$

اکنون معادله n=\frac{-5±101}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 101 را از -5 تفریق کنید.

$$n=-\frac{106}{8}$$

کسر \frac{-106}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=-\frac{53}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$5n+4n^{2}=636$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4n^{2}+5n=636$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

636 را بر 4 تقسیم کنید.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

\frac{5}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{8} شود. سپس مجذور \frac{5}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

\frac{5}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

159 را به \frac{25}{64} اضافه کنید.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

عامل n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

ساده کنید.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

\frac{5}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$