حل 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

40 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x^{2}-x-40=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-40 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -240 است فهرست کنید.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-16 b=15$$

6x^{2}-x-40 را به‌عنوان \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-8=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-x=40$$

40 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

تفریق 40 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-x-40=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -1 را با b و -40 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

1 را به 960 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 961 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{1±31}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 31 اضافه کنید.

$$x=\frac{32}{12}$$

کسر \frac{32}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{8}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{1±31}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 31 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{12}$$

کسر \frac{-30}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-x=40$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

کسر \frac{40}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

-\frac{1}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{12} شود. سپس مجذور -\frac{1}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

-\frac{1}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{20}{3} را به \frac{1}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

\frac{1}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$