حل 6x^2+5x=6

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

6 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-6 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=-4 b=9$$

6x^{2}+5x-6 را به‌عنوان \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-2=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}+5x=6$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

تفریق 6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، 5 را با b و -6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

25 را به 144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±13}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{12}$$

کسر \frac{8}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±13}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{12}$$

کسر \frac{-18}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}+5x=6$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

\frac{5}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{12} شود. سپس مجذور \frac{5}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

\frac{5}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

1 را به \frac{25}{144} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{5}{12} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$