حل 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -42 است فهرست کنید.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 19 است.

$$a=-2 b=21$$

6x^{2}+19x-7 را به‌عنوان \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-1=0 و 2x+7=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، 19 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

19 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

361 را به 168 اضافه کنید.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 529 را به دست آورید.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{-19±23}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -19 را به 23 اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{12}$$

کسر \frac{4}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-19±23}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 23 را از -19 تفریق کنید.

$$x=-\frac{42}{12}$$

کسر \frac{-42}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

تفریق -7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

-7 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}+19x=7$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

\frac{19}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{19}{12} شود. سپس مجذور \frac{19}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

\frac{19}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{7}{6} را به \frac{361}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

عامل x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

\frac{19}{12} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$