حل 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{28}\approx 0.035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 56x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 56 است فهرست کنید.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -30 است.

$$a=-28 b=-2$$

56x^{2}-30x+1 را به‌عنوان \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

در گروه اول از 28x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-1=0 و 28x-1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 56 را با a، -30 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

-30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

-4 بار 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

900 را به -224 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

ریشه دوم 676 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

متضاد -30 عبارت است از 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

2 بار 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

اکنون معادله x=\frac{30±26}{112} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 30 را به 26 اضافه کنید.

$$x=\frac{56}{112}$$

کسر \frac{56}{112} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 56، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{30±26}{112} وقتی که ± منفی است حل کنید. 26 را از 30 تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{112}$$

کسر \frac{4}{112} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{28}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$56x^{2}-30x=-1$$

هر دو طرف بر 56 تقسیم شوند.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

تقسیم بر 56، ضرب در 56 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

کسر \frac{-30}{56} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

-\frac{15}{28}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{15}{56} شود. سپس مجذور -\frac{15}{56} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

-\frac{15}{56} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{56} را به \frac{225}{3136} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

عامل x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

\frac{15}{56} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$