حل 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=-5 b=1$$

5x^{2}-4x-1 را به‌عنوان \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

از 5x در 5x^{2}-5x فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 5x+1=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -4 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

16 را به 20 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 36 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{4±6}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 6 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{4±6}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6 را از 4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{10}$$

کسر \frac{-2}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-4x=1$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

-\frac{4}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{2}{5} شود. سپس مجذور -\frac{2}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

-\frac{2}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{5} را به \frac{4}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

عامل x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

\frac{2}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$