حل 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -80 است فهرست کنید.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -2 است.

$$a=-10 b=8$$

5x^{2}-2x-16 را به‌عنوان \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 8 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 5x+8=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -2 را با b و -16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

4 را به 320 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

متضاد -2 عبارت است از 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{2±18}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2 را به 18 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{2±18}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از 2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{10}$$

کسر \frac{-16}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{8}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

16 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

تفریق -16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

-16 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-2x=16$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

-\frac{2}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{5} شود. سپس مجذور -\frac{1}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

-\frac{1}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{16}{5} را به \frac{1}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

عامل x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

\frac{1}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$