حل 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

عامل

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx+12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 60 است فهرست کنید.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

جواب زوجی است که مجموع آن 23 است.

$$a=3 b=20$$

5x^{2}+23x+12 را به‌عنوان \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

23 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

-20 بار 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

529 را به -240 اضافه کنید.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-23±17}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -23 را به 17 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{10}$$

کسر \frac{-6}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-23±17}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -23 تفریق کنید.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{3}{5} را برای x_{1} و -4 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{5} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از5 در 5 و 5 کم کنید.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

ارزیابی

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$