حل 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

21 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

تفریق 21 را از 1 برای به دست آوردن -20 تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$2x^{2}+x-10=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -20 است فهرست کنید.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-4 b=5$$

2x^{2}+x-10 را به‌عنوان \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 2x+5=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

21 را از 1 تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 2 را با b و -20 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

4 را به 320 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±18}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 18 اضافه کنید.

$$x=\frac{16}{8}$$

16 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{-2±18}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از -2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{8}$$

کسر \frac{-20}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

1 را از 21 تفریق کنید.

$$4x^{2}+2x=20$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

کسر \frac{2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

20 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{4} شود. سپس مجذور \frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

5 را به \frac{1}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

\frac{1}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$