حل 4n^2-12n+9

$$4 n ^ { 2 } - 12 n + 9$$

عامل

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 4n^{2}+an+bn+9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 36 است فهرست کنید.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

جواب زوجی است که مجموع آن -12 است.

$$a=-6 b=-6$$

4n^{2}-12n+9 را به‌عنوان \left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right)$$

در گروه اول از 2n و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$2n\left(2n-3\right)-3\left(2n-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2n-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

مراحل استفاده از مربع دوجمله‌ای

این معادله سه جمله‌ای دارای یک شکل از مجذور سه جمله است که شاید در یک مضروب مشترک ضرب شده است. مجذورهای سه جمله‌ای را می‌توان با یافتن ریشه‌های دوم عبارت‌های اول و آخر، فاکتورگیری کرد.

$$factor(4n^{2}-12n+9)$$

بزرگ‌ترین مضروب مشترک ضرايب را پیدا کنید.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

ریشه دوم جمله ابتدایی 4n^{2} را پیدا کنید.

$$\sqrt{4n^{2}}=2n$$

ریشه دوم جمله انتهایی 9 را پیدا کنید.

$$\sqrt{9}=3$$

مجذور سه جمله‌ای برابر با مجذور دو جمله‌ای است که مجموع یا تفاضل ریشه‌های دوم عبارت‌های ابتدایی و انتهایی است و در آن علامت توسط علامت عبارت میانی مجذور سه جمله‌ای تعیین می‌شود.

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-12 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 بار 9.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

144 را به -144 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

متضاد -12 عبارت است از 12.

$$n=\frac{12±0}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$n=\frac{12±0}{8}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{3}{2} را برای x_{1} و \frac{3}{2} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$4n^{2}-12n+9=4\left(n-\frac{3}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{3}{2} را از n تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$4n^{2}-12n+9=4\times \frac{2n-3}{2}\left(n-\frac{3}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{3}{2} را از n تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$4n^{2}-12n+9=4\times \frac{2n-3}{2}\times \frac{2n-3}{2}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{2n-3}{2} را در \frac{2n-3}{2} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$4n^{2}-12n+9=4\times \frac{\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$4n^{2}-12n+9=4\times \frac{\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)}{4}$$

بزرگترین عامل مشترک را از4 در 4 و 4 کم کنید.

$$4n^{2}-12n+9=\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)$$

ارزیابی

$$\left(2n-3\right)^{2}$$