حل 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0.692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 39x^{2}+ax+bx-9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -351 است فهرست کنید.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

جواب زوجی است که مجموع آن 14 است.

$$a=-13 b=27$$

39x^{2}+14x-9 را به‌عنوان \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

در گروه اول از 13x و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-1=0 و 13x+9=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 39 را با a، 14 را با b و -9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

-4 بار 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

-156 بار -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

196 را به 1404 اضافه کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

ریشه دوم 1600 را به دست آورید.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

2 بار 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

اکنون معادله x=\frac{-14±40}{78} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -14 را به 40 اضافه کنید.

$$x=\frac{26}{78}$$

کسر \frac{26}{78} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 26، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-14±40}{78} وقتی که ± منفی است حل کنید. 40 را از -14 تفریق کنید.

$$x=-\frac{54}{78}$$

کسر \frac{-54}{78} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{9}{13}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

تفریق -9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

-9 را از 0 تفریق کنید.

$$39x^{2}+14x=9$$

هر دو طرف بر 39 تقسیم شوند.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

تقسیم بر 39، ضرب در 39 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

کسر \frac{9}{39} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

\frac{14}{39}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{39} شود. سپس مجذور \frac{7}{39} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

\frac{7}{39} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{13} را به \frac{49}{1521} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

عامل x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

\frac{7}{39} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$