حل 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

عامل

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 3z^{2}+az+bz+20 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 60 است فهرست کنید.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

جواب زوجی است که مجموع آن 16 است.

$$a=6 b=10$$

3z^{2}+16z+20 را به‌عنوان \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

در گروه اول از 3z و در گروه دوم از 10 فاکتور بگیرید.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک z+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

16 را مجذور کنید.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

-12 بار 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

256 را به -240 اضافه کنید.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 16 را به دست آورید.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

اکنون معادله z=\frac{-16±4}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -16 را به 4 اضافه کنید.

$$z=-\frac{12}{6}$$

-12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$z=-2$$

اکنون معادله z=\frac{-16±4}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4 را از -16 تفریق کنید.

$$z=-\frac{20}{6}$$

کسر \frac{-20}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$z=-\frac{10}{3}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -2 را برای x_{1} و -\frac{10}{3} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{10}{3} را به z اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

بزرگترین عامل مشترک را از3 در 3 و 3 کم کنید.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

ارزیابی

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$