حل 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

عامل

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

جملات دارای متغیر یکسان را ضرب و ترکیب کنید.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -16 و q به عامل پیشگام 3 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 را بر x+4 برای به دست آوردن 3x^{3}+12x^{2}-x-4 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -4 و q به عامل پیشگام 3 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 3x^{3}+12x^{2}-x-4 را بر x+4 برای به دست آوردن 3x^{2}-1 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$3x^{2}-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 3 را با a، 0 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

معادله 3x^{2}-1=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید. از چندجمله‌ای 3x^{2}-1 فاکتور گرفته نشده زیرا هیچ ریشه گویایی ندارد.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

ارزیابی

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

48x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 47x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$