حل 3x^2-13x=10

$$3 x ^ { 2 } - 13 x = 10$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

10 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=3\left(-10\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=-15 b=2$$

3x^{2}-13x-10 را به‌عنوان \left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-13x=10$$

10 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x^{2}-13x-10=10-10$$

تفریق 10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -13 را با b و -10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

-13 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -10.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 3}$$

169 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 3}$$

متضاد -13 عبارت است از 13.

$$x=\frac{13±17}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{13±17}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{13±17}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 13 را به 17 اضافه کنید.

$$x=\frac{30}{6}$$

30 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=5$$

اکنون معادله x=\frac{13±17}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از 13 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{6}$$

کسر \frac{-4}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-13x=10$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-13x}{3}=\frac{10}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{3}$$

-\frac{13}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{13}{6} شود. سپس مجذور -\frac{13}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

-\frac{13}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{10}{3} را به \frac{169}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{289}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{17}{6}$$

\frac{13}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$