حل 3x^2-11x-9=0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 9 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{229} + 11}{6} \approx 4.355457658$$

$$x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}\approx -0.688790992$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-11x-9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -11 را با b و -9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+108}}{2\times 3}$$

121 را به 108 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{229}}{2\times 3}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{229}}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{11±\sqrt{229}}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{11±\sqrt{229}}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به \sqrt{229} اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{11±\sqrt{229}}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. \sqrt{229} را از 11 تفریق کنید.

$$x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-11x-9=0$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-11x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

تفریق -9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-11x=-\left(-9\right)$$

-9 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-11x=9$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-11x}{3}=\frac{9}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=3$$

-\frac{11}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{6} شود. سپس مجذور -\frac{11}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=3+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=3+\frac{121}{36}$$

3 را به \frac{121}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{229}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{229}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{229}{36}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{229}}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{229}}{6}$$

\frac{11}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{229}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{229}}{6}$$