حل 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 16 است.

$$a=-2 b=18$$

3x^{2}+16x-12 را به‌عنوان \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-2=0 و x+6=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 16 را با b و -12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

16 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

256 را به 144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 400 را به دست آورید.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-16±20}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -16 را به 20 اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{6}$$

کسر \frac{4}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-16±20}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 20 را از -16 تفریق کنید.

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

12 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

تفریق -12 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

-12 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x=12$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

12 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

\frac{16}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{8}{3} شود. سپس مجذور \frac{8}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

\frac{8}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

4 را به \frac{64}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

\frac{8}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$