حل 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

برای r حل کنید

$$r=3$$

$$r=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

45 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$r^{2}-8r+15=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت r^{2}+ar+br+15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 15 است فهرست کنید.

$$-1,-15 -3,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -8 است.

$$a=-5 b=-3$$

r^{2}-8r+15 را به‌عنوان \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

در گروه اول از r و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک r-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، r-5=0 و r-3=0 را حل کنید.

$$r=5 r=3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3r^{2}-24r=-45$$

45 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

تفریق -45 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

-45 را از 0 تفریق کنید.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -24 را با b و 45 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

-12 بار 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

576 را به -540 اضافه کنید.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 36 را به دست آورید.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

متضاد -24 عبارت است از 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

اکنون معادله r=\frac{24±6}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 24 را به 6 اضافه کنید.

$$r=\frac{30}{6}$$

30 را بر 6 تقسیم کنید.

$$r=5$$

اکنون معادله r=\frac{24±6}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6 را از 24 تفریق کنید.

$$r=\frac{18}{6}$$

18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$r=3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=5 r=3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3r^{2}-24r=-45$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

-24 را بر 3 تقسیم کنید.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

-45 را بر 3 تقسیم کنید.

$$r^{2}-8r=-15$$

-8، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -4 شود. سپس مجذور -4 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4 را مجذور کنید.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

-15 را به 16 اضافه کنید.

$$r^{2}-8r+16=1$$

عامل r^{2}-8r+16. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

ساده کنید.

$$r-4=1 r-4=-1$$

4 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r=5 r=3$$