حل 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

برای n حل کنید

$$n=-20$$

$$n=19$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

1141 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

تفریق 1141 را از 1 برای به دست آوردن -1140 تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$n^{2}+n-380=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت n^{2}+an+bn-380 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -380 است فهرست کنید.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 را به‌عنوان \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) بازنویسی کنید.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

در گروه اول از n و در گروه دوم از 20 فاکتور بگیرید.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک n-19 فاکتور بگیرید.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، n-19=0 و n+20=0 را حل کنید.

$$n=19 n=-20$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

1141 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

تفریق 1141 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1141 را از 1 تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 3 را با b و -1140 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

9 را به 13680 اضافه کنید.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 13689 را به دست آورید.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

اکنون معادله n=\frac{-3±117}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به 117 اضافه کنید.

$$n=\frac{114}{6}$$

114 را بر 6 تقسیم کنید.

$$n=19$$

اکنون معادله n=\frac{-3±117}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 117 را از -3 تفریق کنید.

$$n=-\frac{120}{6}$$

-120 را بر 6 تقسیم کنید.

$$n=-20$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=19 n=-20$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1 را از 1141 تفریق کنید.

$$3n^{2}+3n=1140$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 را بر 3 تقسیم کنید.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

1140 را بر 3 تقسیم کنید.

$$n^{2}+n=380$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

380 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

عامل n^{2}+n+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

ساده کنید.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$n=19 n=-20$$