حل 3x^2-8x-3=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-3=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-8 ab=3\left(-3\right)=-9$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -9 است فهرست کنید.

$$1,-9 3,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-9=-8 3-3=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -8 است.

$$a=-9 b=1$$

3x^{2}-8x-3 را به‌عنوان \left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right)$$

از 3x در 3x^{2}-9x فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-3\right)+x-3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(3x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 3x+1=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -8 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

-8 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\times 3}$$

64 را به 36 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 100 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\times 3}$$

متضاد -8 عبارت است از 8.

$$x=\frac{8±10}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{8±10}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{8±10}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 8 را به 10 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{6}$$

18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{8±10}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10 را از 8 تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{6}$$

کسر \frac{-2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3x^{2}-8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3x^{2}-8x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$3x^{2}-8x=3$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{3}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{3}{3}$$

3 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=1$$

-\frac{8}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{4}{3} شود. سپس مجذور -\frac{4}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

-\frac{4}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$$

1 را به \frac{16}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{5}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{4}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$