حل 28k^2+k-2=0

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

برای k حل کنید

$$k=\frac{1}{4}=0.25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 28k^{2}+ak+bk-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -56 است فهرست کنید.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-7 b=8$$

28k^{2}+k-2 را به‌عنوان \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

در گروه اول از 7k و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4k-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4k-1=0 و 7k+2=0 را حل کنید.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$28k^{2}+k-2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 28 را با a، 1 را با b و -2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

1 را مجذور کنید.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-4 بار 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

-112 بار -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

1 را به 224 اضافه کنید.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

2 بار 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

اکنون معادله k=\frac{-1±15}{56} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -1 را به 15 اضافه کنید.

$$k=\frac{14}{56}$$

کسر \frac{14}{56} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 14، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=\frac{1}{4}$$

اکنون معادله k=\frac{-1±15}{56} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از -1 تفریق کنید.

$$k=-\frac{16}{56}$$

کسر \frac{-16}{56} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k=-\frac{2}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$28k^{2}+k-2=0$$

2 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

تفریق -2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

-2 را از 0 تفریق کنید.

$$28k^{2}+k=2$$

هر دو طرف بر 28 تقسیم شوند.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

تقسیم بر 28، ضرب در 28 را لغو می‌کند.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

کسر \frac{2}{28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

\frac{1}{28}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{56} شود. سپس مجذور \frac{1}{56} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

\frac{1}{56} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{14} را به \frac{1}{3136} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

عامل k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

ساده کنید.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

\frac{1}{56} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$