حل 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 25y^{2}+ay+by-63 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -1575 است فهرست کنید.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

جواب زوجی است که مجموع آن -54 است.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63 را به‌عنوان \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) بازنویسی کنید.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

در گروه اول از 25y و در گروه دوم از 21 فاکتور بگیرید.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-3=0 و 25y+21=0 را حل کنید.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 25 را با a، -54 را با b و -63 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-54 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100 بار -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

2916 را به 6300 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

ریشه دوم 9216 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

متضاد -54 عبارت است از 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

اکنون معادله y=\frac{54±96}{50} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 54 را به 96 اضافه کنید.

$$y=\frac{150}{50}$$

150 را بر 50 تقسیم کنید.

$$y=3$$

اکنون معادله y=\frac{54±96}{50} وقتی که ± منفی است حل کنید. 96 را از 54 تفریق کنید.

$$y=-\frac{42}{50}$$

کسر \frac{-42}{50} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=-\frac{21}{25}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

63 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

تفریق -63 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

-63 را از 0 تفریق کنید.

$$25y^{2}-54y=63$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

تقسیم بر 25، ضرب در 25 را لغو می‌کند.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

-\frac{54}{25}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{27}{25} شود. سپس مجذور -\frac{27}{25} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

-\frac{27}{25} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{63}{25} را به \frac{729}{625} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

عامل y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

\frac{27}{25} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$