حل 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 24x^{2}+ax+bx+21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 504 است فهرست کنید.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

جواب زوجی است که مجموع آن -65 است.

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 را به‌عنوان \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

در گروه اول از 8x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-7=0 و 8x-3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 24 را با a، -65 را با b و 21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-4 بار 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

-96 بار 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

4225 را به -2016 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

ریشه دوم 2209 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

متضاد -65 عبارت است از 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

2 بار 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

اکنون معادله x=\frac{65±47}{48} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 65 را به 47 اضافه کنید.

$$x=\frac{112}{48}$$

کسر \frac{112}{48} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 16، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{7}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{65±47}{48} وقتی که ± منفی است حل کنید. 47 را از 65 تفریق کنید.

$$x=\frac{18}{48}$$

کسر \frac{18}{48} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{8}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$24x^{2}-65x=-21$$

هر دو طرف بر 24 تقسیم شوند.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

تقسیم بر 24، ضرب در 24 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

کسر \frac{-21}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

-\frac{65}{24}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{65}{48} شود. سپس مجذور -\frac{65}{48} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

-\frac{65}{48} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{8} را به \frac{4225}{2304} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

عامل x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

\frac{65}{48} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$