حل 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

برای y حل کنید

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2y^{2}+ay+by-21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -42 است فهرست کنید.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-6 b=7$$

2y^{2}+y-21 را به‌عنوان \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

در گروه اول از 2y و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-3=0 و 2y+7=0 را حل کنید.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2y^{2}+y-21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 1 را با b و -21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

1 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

1 را به 168 اضافه کنید.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

اکنون معادله y=\frac{-1±13}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -1 را به 13 اضافه کنید.

$$y=\frac{12}{4}$$

12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$y=3$$

اکنون معادله y=\frac{-1±13}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -1 تفریق کنید.

$$y=-\frac{14}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=-\frac{7}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2y^{2}+y-21=0$$

21 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

تفریق -21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

-21 را از 0 تفریق کنید.

$$2y^{2}+y=21$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{4} شود. سپس مجذور \frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{21}{2} را به \frac{1}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

عامل y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

ساده کنید.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{1}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$