حل 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -20 است فهرست کنید.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -19 است.

$$a=-20 b=1$$

2x^{2}-19x-10 را به‌عنوان \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

از 2x در 2x^{2}-20x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-10 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -19 را با b و -10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-19 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

361 را به 80 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 441 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

متضاد -19 عبارت است از 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{19±21}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 19 را به 21 اضافه کنید.

$$x=\frac{40}{4}$$

40 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=10$$

اکنون معادله x=\frac{19±21}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 21 را از 19 تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{4}$$

کسر \frac{-2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

10 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

تفریق -10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

-10 را از 0 تفریق کنید.

$$2x^{2}-19x=10$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

10 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

-\frac{19}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{19}{4} شود. سپس مجذور -\frac{19}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

-\frac{19}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

5 را به \frac{361}{16} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

\frac{19}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$