حل 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x=9$$

مراحل راه‌حل

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

2x^{2}-10x-6 را مجذور کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

11 را به توان 2 محاسبه کنید و 121 را به دست آورید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}-5x} را به توان 2 محاسبه کنید و x^{2}-5x را به دست آورید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 121 در x^{2}-5x استفاده کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

121x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

76x^{2} و -121x^{2} را برای به دست آوردن -45x^{2} ترکیب کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

605x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

120x و 605x را برای به دست آوردن 725x ترکیب کنید.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 36 و q به عامل پیشگام 4 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=-4$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 را بر x+4 برای به دست آوردن 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 9 و q به عامل پیشگام 4 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=9$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 را بر x-9 برای به دست آوردن 4x^{2}-20x-1 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، -20 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

معادله 4x^{2}-20x-1=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

-4 به جای x در معادله 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} جایگزین شود.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

ساده کنید. مقدار x=-4 معادله را برآورده می کند.

$$72=72$$

9 به جای x در معادله 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} جایگزین شود.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

ساده کنید. مقدار x=9 معادله را برآورده می کند.

$$72=72$$

\frac{5-\sqrt{26}}{2} به جای x در معادله 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} جایگزین شود.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} معادله را برآورده نمی کند.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

\frac{\sqrt{26}+5}{2} به جای x در معادله 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} جایگزین شود.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} معادله را برآورده نمی کند.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

تمام راه حل‌های 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} را لیست کنید.

$$x=-4 x=9$$