حل 2x^2+9x+7=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x + 7 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx+7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 14 است فهرست کنید.

$$1,14 2,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+14=15 2+7=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 9 است.

$$a=2 b=7$$

2x^{2}+9x+7 را به‌عنوان \left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(7x+7\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+1\right)\left(2x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+1=0 و 2x+7=0 را حل کنید.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 9 را با b و 7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 بار 7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

81 را به -56 اضافه کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$x=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-9±5}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±5}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 5 اضافه کنید.

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

اکنون معادله x=\frac{-9±5}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از -9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{14}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+9x+7=0$$

7 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}+9x+7-7=-7$$

تفریق 7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}+9x=-7$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=-\frac{7}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{7}{2}$$

\frac{9}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{9}{4} شود. سپس مجذور \frac{9}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{2} را به \frac{81}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

عامل x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{9}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-1 x=-\frac{7}{2}$$