حل 2r^2-r-3=0

$$2 r ^ { 2 } - r - 3 = 0$$

برای r حل کنید

$$r=-1$$

$$r = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2r^{2}+ar+br-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6 است فهرست کنید.

$$1,-6 2,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-3 b=2$$

2r^{2}-r-3 را به‌عنوان \left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right)$$

از r در 2r^{2}-3r فاکتور بگیرید.

$$r\left(2r-3\right)+2r-3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2r-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2r-3\right)\left(r+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2r-3=0 و r+1=0 را حل کنید.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2r^{2}-r-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -1 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -3.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

1 را به 24 اضافه کنید.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 25 را به دست آورید.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$r=\frac{1±5}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$r=\frac{1±5}{4}$$

اکنون معادله r=\frac{1±5}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 5 اضافه کنید.

$$r=\frac{6}{4}$$

کسر \frac{6}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله r=\frac{1±5}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 5 را از 1 تفریق کنید.

$$r=-\frac{4}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$r=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2r^{2}-r-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2r^{2}-r-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2r^{2}-r=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$2r^{2}-r=3$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2r^{2}-r}{2}=\frac{3}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r=\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{4} شود. سپس مجذور -\frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{2} را به \frac{1}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

عامل r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

ساده کنید.

$$r-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} r-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{1}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$