حل 2r^2-5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } - 5 r + 2 = 0$$

برای r حل کنید

$$r=\frac{1}{2}=0.5$$

$$r=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2r^{2}+ar+br+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 4 است فهرست کنید.

$$-1,-4 -2,-2$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-4 b=-1$$

2r^{2}-5r+2 را به‌عنوان \left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right)$$

در گروه اول از 2r و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$2r\left(r-2\right)-\left(r-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک r-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(r-2\right)\left(2r-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، r-2=0 و 2r-1=0 را حل کنید.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -5 را با b و 2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

-5 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

-8 بار 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

25 را به -16 اضافه کنید.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 2}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$r=\frac{5±3}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$r=\frac{5±3}{4}$$

اکنون معادله r=\frac{5±3}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 3 اضافه کنید.

$$r=\frac{8}{4}$$

8 را بر 4 تقسیم کنید.

$$r=2$$

اکنون معادله r=\frac{5±3}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از 5 تفریق کنید.

$$r=\frac{2}{4}$$

کسر \frac{2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r=\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2r^{2}-5r+2-2=-2$$

تفریق 2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2r^{2}-5r=-2$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2r^{2}-5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

-2 را بر 2 تقسیم کنید.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-1$$

-\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{4} شود. سپس مجذور -\frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

-1 را به \frac{25}{16} اضافه کنید.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

عامل r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

ساده کنید.

$$r-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

\frac{5}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$