حل 2x^2-5x+1=4

$$2 { x }^{ 2 } -5x+1=4$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

4 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

تفریق 4 را از 1 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 2x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6 است فهرست کنید.

$$1,-6 2,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-6 b=1$$

2x^{2}-5x-3 را به‌عنوان \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

از 2x در 2x^{2}-6x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x+1-4=4-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

4 را از 1 تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -5 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

25 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{5±7}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{5±7}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{4}$$

کسر \frac{-2}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x+1-1=4-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$2x^{2}-5x=4-1$$

1 را از 4 تفریق کنید.

$$2x^{2}-5x=3$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{4} شود. سپس مجذور -\frac{5}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{2} را به \frac{25}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

\frac{5}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$