حل 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 16x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -48 است فهرست کنید.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 8 است.

$$a=-4 b=12$$

16x^{2}+8x-3 را به‌عنوان \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4x-1=0 و 4x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 16 را با a، 8 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

8 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-4 بار 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

-64 بار -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

64 را به 192 اضافه کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

ریشه دوم 256 را به دست آورید.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

2 بار 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±16}{32} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8 را به 16 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{32}$$

کسر \frac{8}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±16}{32} وقتی که ± منفی است حل کنید. 16 را از -8 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{32}$$

کسر \frac{-24}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$16x^{2}+8x=3$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

تقسیم بر 16، ضرب در 16 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

کسر \frac{8}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

\frac{1}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{4} شود. سپس مجذور \frac{1}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{16} را به \frac{1}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

عامل x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

\frac{1}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$