حل 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 12x^{2}+ax+bx-7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -84 است فهرست کنید.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

جواب زوجی است که مجموع آن 17 است.

$$a=-4 b=21$$

12x^{2}+17x-7 را به‌عنوان \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-1=0 و 4x+7=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 12 را با a، 17 را با b و -7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

17 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

-48 بار -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

289 را به 336 اضافه کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 625 را به دست آورید.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±25}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -17 را به 25 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{24}$$

کسر \frac{8}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±25}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 25 را از -17 تفریق کنید.

$$x=-\frac{42}{24}$$

کسر \frac{-42}{24} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

تفریق -7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

-7 را از 0 تفریق کنید.

$$12x^{2}+17x=7$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

تقسیم بر 12، ضرب در 12 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

\frac{17}{12}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{17}{24} شود. سپس مجذور \frac{17}{24} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

\frac{17}{24} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{7}{12} را به \frac{289}{576} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

عامل x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

\frac{17}{24} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$