حل 10x^2+21x+9=0

$$10 { x }^{ 2 } +21x+9=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 10x^{2}+ax+bx+9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=21 ab=10\times 9=90$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 90 است فهرست کنید.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

جواب زوجی است که مجموع آن 21 است.

$$a=6 b=15$$

10x^{2}+21x+9 را به‌عنوان \left(10x^{2}+6x\right)+\left(15x+9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(10x^{2}+6x\right)+\left(15x+9\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x+3\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x+3=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$10x^{2}+21x+9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 10 را با a، 21 را با b و 9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

21 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

-4 بار 10.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-40\times 9}}{2\times 10}$$

-40 بار 9.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\times 10}$$

441 را به -360 اضافه کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\times 10}$$

ریشه دوم 81 را به دست آورید.

$$x=\frac{-21±9}{2\times 10}$$

2 بار 10.

$$x=\frac{-21±9}{20}$$

اکنون معادله x=\frac{-21±9}{20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -21 را به 9 اضافه کنید.

$$x=-\frac{12}{20}$$

کسر \frac{-12}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-21±9}{20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 9 را از -21 تفریق کنید.

$$x=-\frac{30}{20}$$

کسر \frac{-30}{20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$10x^{2}+21x+9=0$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$10x^{2}+21x+9-9=-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$10x^{2}+21x=-9$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$\frac{10x^{2}+21x}{10}=-\frac{9}{10}$$

تقسیم بر 10، ضرب در 10 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{21}{10}x=-\frac{9}{10}$$

\frac{21}{10}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{21}{20} شود. سپس مجذور \frac{21}{20} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{21}{10}x+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}=-\frac{9}{10}+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}$$

\frac{21}{20} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}=-\frac{9}{10}+\frac{441}{400}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{9}{10} را به \frac{441}{400} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}=\frac{81}{400}$$

عامل x^{2}+\frac{21}{10}x+\frac{441}{400}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{81}{400}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{400}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{21}{20}=\frac{9}{20} x+\frac{21}{20}=-\frac{9}{20}$$

\frac{21}{20} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{2}$$