حل -5x^2+9x+2>0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

برای x حل کنید

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

نامعادله را در ۱- ضرب کنید تا ضریب بالاترین توان در -5x^{2}+9x+2 مثبت شود. از آنجا که -1 منفی است، جهت نابرابری تغییر می کند.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 5 را با a، -9 را با b، و -2 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

معادله x=\frac{9±11}{10} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

برای منفی شدن حاصل، x-2 و x+\frac{1}{5} باید دارای علامت‌های مخالف هم باشند. موردی را در نظر بگیرید که x-2 مثبت و x+\frac{1}{5} منفی باشد.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

این برای هر x، غلط است.

$$x\in \emptyset$$

موردی را در نظر بگیرید که x+\frac{1}{5} مثبت و x-2 منفی باشد.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x\in \left(-\frac{1}{5},2\right) است.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$