حل -5x^2+9x+2=0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -5x^{2}+ax+bx+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=9 ab=-5\times 2=-10$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -10 است فهرست کنید.

$$-1,10 -2,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 9 است.

$$a=10 b=-1$$

-5x^{2}+9x+2 را به‌عنوان \left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-5x^{2}+10x\right)+\left(-x+2\right)$$

از 5x در -5x^{2}+10x فاکتور بگیرید.

$$5x\left(-x+2\right)-x+2$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+2\right)\left(5x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+2=0 و 5x+1=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -5 را با a، 9 را با b و 2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

-4 بار -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 2}}{2\left(-5\right)}$$

20 بار 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\left(-5\right)}$$

81 را به 40 اضافه کنید.

$$x=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\left(-5\right)}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-9±11}{2\left(-5\right)}$$

2 بار -5.

$$x=\frac{-9±11}{-10}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±11}{-10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -9 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{-10}$$

کسر \frac{2}{-10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-9±11}{-10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از -9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{-10}$$

-20 را بر -10 تقسیم کنید.

$$x=2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{5} x=2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-5x^{2}+9x+2=0$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-5x^{2}+9x+2-2=-2$$

تفریق 2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-5x^{2}+9x=-2$$

هر دو طرف بر -5 تقسیم شوند.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{2}{-5}$$

تقسیم بر -5، ضرب در -5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{2}{-5}$$

9 را بر -5 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{2}{-5}$$

-2 را بر -5 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{2}{5}$$

-\frac{9}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{9}{10} شود. سپس مجذور -\frac{9}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

-\frac{9}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{2}{5}+\frac{81}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{5} را به \frac{81}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{121}{100}$$

عامل x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{121}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{100}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{11}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{11}{10}$$

\frac{9}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$