حل -3x^2-5x+12=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 5 x + 12 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-3$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3x^{2}+ax+bx+12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=-3\times 12=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=4 b=-9$$

-3x^{2}-5x+12 را به‌عنوان \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(3x-4\right)-3\left(3x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-4=0 و -x-3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، -5 را با b و 12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+12\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-3\right)}$$

25 را به 144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-3\right)}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{5±13}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{5±13}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{-6}$$

18 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

اکنون معادله x=\frac{5±13}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

کسر \frac{-8}{-6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-3 x=\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

12 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-3x^{2}-5x+12-12=-12$$

تفریق 12 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-3x^{2}-5x=-12$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3x^{2}-5x}{-3}=-\frac{12}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-3}\right)x=-\frac{12}{-3}$$

-5 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{12}{-3}$$

-12 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=4$$

\frac{5}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{6} شود. سپس مجذور \frac{5}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

4 را به \frac{25}{36} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

عامل x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

\frac{5}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$