حل -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -14x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -56 است فهرست کنید.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=8 b=-7$$

-14x^{2}+x+4 را به‌عنوان \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

از 2x در -14x^{2}+8x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -7x+4 فاکتور بگیرید.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -7x+4=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -14 را با a، 1 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

1 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

-4 بار -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

56 بار 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

1 را به 224 اضافه کنید.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

2 بار -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

اکنون معادله x=\frac{-1±15}{-28} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -1 را به 15 اضافه کنید.

$$x=\frac{14}{-28}$$

کسر \frac{14}{-28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 14، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-1±15}{-28} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از -1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

کسر \frac{-16}{-28} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-14x^{2}+x=-4$$

هر دو طرف بر -14 تقسیم شوند.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

تقسیم بر -14، ضرب در -14 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

1 را بر -14 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

کسر \frac{-4}{-14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

-\frac{1}{14}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{28} شود. سپس مجذور -\frac{1}{28} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

-\frac{1}{28} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{7} را به \frac{1}{784} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

\frac{1}{28} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$