حل -y^2+5y-4=0

$$- { y }^{ 2 } +5y-4=0$$

برای y حل کنید

$$y=1$$

$$y=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -y^{2}+ay+by-4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=5 ab=-\left(-4\right)=4$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 4 است فهرست کنید.

$$1,4 2,2$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+4=5 2+2=4$$

جواب زوجی است که مجموع آن 5 است.

$$a=4 b=1$$

-y^{2}+5y-4 را به‌عنوان \left(-y^{2}+4y\right)+\left(y-4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-y^{2}+4y\right)+\left(y-4\right)$$

از -y در -y^{2}+4y فاکتور بگیرید.

$$-y\left(y-4\right)+y-4$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-4\right)\left(-y+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-4=0 و -y+1=0 را حل کنید.

$$y=4 y=1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-y^{2}+5y-4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 5 را با b و -4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

5 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -4.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\left(-1\right)}$$

25 را به -16 اضافه کنید.

$$y=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$y=\frac{-5±3}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$y=\frac{-5±3}{-2}$$

اکنون معادله y=\frac{-5±3}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به 3 اضافه کنید.

$$y=-\frac{2}{-2}$$

-2 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=1$$

اکنون معادله y=\frac{-5±3}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از -5 تفریق کنید.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

-8 را بر -2 تقسیم کنید.

$$y=4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=1 y=4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-y^{2}+5y-4=0$$

4 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-y^{2}+5y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

تفریق -4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$-y^{2}+5y=-\left(-4\right)$$

-4 را از 0 تفریق کنید.

$$-y^{2}+5y=4$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-y^{2}+5y}{-1}=\frac{4}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\frac{5}{-1}y=\frac{4}{-1}$$

5 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-5y=\frac{4}{-1}$$

4 را بر -1 تقسیم کنید.

$$y^{2}-5y=-4$$

-5، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{2} شود. سپس مجذور -\frac{5}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-5y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

-4 را به \frac{25}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

عامل y^{2}-5y+\frac{25}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{5}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=4 y=1$$