حل (4x-3)^2=64

$$( 4 x - 3 ) ^ { 2 } = 64$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

64 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

تفریق 64 را از 9 برای به دست آوردن -55 تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 16x^{2}+ax+bx-55 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-24 ab=16\left(-55\right)=-880$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -880 است فهرست کنید.

$$1,-880 2,-440 4,-220 5,-176 8,-110 10,-88 11,-80 16,-55 20,-44 22,-40$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-880=-879 2-440=-438 4-220=-216 5-176=-171 8-110=-102 10-88=-78 11-80=-69 16-55=-39 20-44=-24 22-40=-18$$

جواب زوجی است که مجموع آن -24 است.

$$a=-44 b=20$$

16x^{2}-24x-55 را به‌عنوان \left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right) بازنویسی کنید.

$$\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(4x-11\right)+5\left(4x-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-11\right)\left(4x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4x-11=0 و 4x+5=0 را حل کنید.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

64 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

تفریق 64 را از 9 برای به دست آوردن -55 تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 16 را با a، -24 را با b و -55 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

-24 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

-4 بار 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

-64 بار -55.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3520}}{2\times 16}$$

576 را به 3520 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{4096}}{2\times 16}$$

ریشه دوم 4096 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±64}{2\times 16}$$

متضاد -24 عبارت است از 24.

$$x=\frac{24±64}{2\times 16}$$

2 بار 16.

$$x=\frac{24±64}{32}$$

اکنون معادله x=\frac{24±64}{32} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 24 را به 64 اضافه کنید.

$$x=\frac{88}{32}$$

کسر \frac{88}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{11}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{24±64}{32} وقتی که ± منفی است حل کنید. 64 را از 24 تفریق کنید.

$$x=-\frac{40}{32}$$

کسر \frac{-40}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x=64-9$$

تفریق 9 را از 64 برای به دست آوردن 55 تفریق کنید.

$$16x^{2}-24x=55$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{55}{16}$$

تقسیم بر 16، ضرب در 16 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{55}{16}$$

کسر \frac{-24}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{55}{16}$$

-\frac{3}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{4} شود. سپس مجذور -\frac{3}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{55}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{55+9}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{55}{16} را به \frac{9}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4$$

عامل x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=4$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{4}=2 x-\frac{3}{4}=-2$$

\frac{3}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$