حل (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

برای r حل کنید

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3+r\right)^{2} استفاده کنید.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(15+r\right)^{2} استفاده کنید.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 و 225 را برای دریافت 234 اضافه کنید.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r و 30r را برای به دست آوردن 36r ترکیب کنید.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2} و r^{2} را برای به دست آوردن 2r^{2} ترکیب کنید.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18 را به توان 2 محاسبه کنید و 324 را به دست آورید.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

324 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

تفریق 324 را از 234 برای به دست آوردن -90 تفریق کنید.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 36 را با b و -90 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

36 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

1296 را به 720 اضافه کنید.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 2016 را به دست آورید.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

اکنون معادله r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -36 را به 12\sqrt{14} اضافه کنید.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36+12\sqrt{14} را بر 4 تقسیم کنید.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

اکنون معادله r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 12\sqrt{14} را از -36 تفریق کنید.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36-12\sqrt{14} را بر 4 تقسیم کنید.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3+r\right)^{2} استفاده کنید.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(15+r\right)^{2} استفاده کنید.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 و 225 را برای دریافت 234 اضافه کنید.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r و 30r را برای به دست آوردن 36r ترکیب کنید.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2} و r^{2} را برای به دست آوردن 2r^{2} ترکیب کنید.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18 را به توان 2 محاسبه کنید و 324 را به دست آورید.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

234 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

تفریق 234 را از 324 برای به دست آوردن 90 تفریق کنید.

$$36r+2r^{2}=90$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2r^{2}+36r=90$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

36 را بر 2 تقسیم کنید.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

90 را بر 2 تقسیم کنید.

$$r^{2}+18r=45$$

18، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 9 شود. سپس مجذور 9 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

9 را مجذور کنید.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

45 را به 81 اضافه کنید.

$$r^{2}+18r+81=126$$

عامل r^{2}+18r+81. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

ساده کنید.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$