حل (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=-3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

20x و -4x را برای به دست آوردن 16x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

4 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

تفریق 4 را از 25 برای به دست آوردن 21 تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 63 است فهرست کنید.

$$1,63 3,21 7,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

جواب زوجی است که مجموع آن 16 است.

$$a=7 b=9$$

3x^{2}+16x+21 را به‌عنوان \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+7 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+7=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

20x و -4x را برای به دست آوردن 16x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

4 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

تفریق 4 را از 25 برای به دست آوردن 21 تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 16 را با b و 21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

16 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

-12 بار 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

256 را به -252 اضافه کنید.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-16±2}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -16 را به 2 اضافه کنید.

$$x=-\frac{14}{6}$$

کسر \frac{-14}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-16±2}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از -16 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{6}$$

-18 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

4x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

20x و -4x را برای به دست آوردن 16x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

تفریق 25 را از 4 برای به دست آوردن -21 تفریق کنید.

$$3x^{2}+16x=-21$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

-21 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

\frac{16}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{8}{3} شود. سپس مجذور \frac{8}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

\frac{8}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

-7 را به \frac{64}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{8}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$