حل (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x و 10x را برای به دست آوردن 14x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

تفریق 25 را از 1 برای به دست آوردن -24 تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -72 است فهرست کنید.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 14 است.

$$a=-4 b=18$$

3x^{2}+14x-24 را به‌عنوان \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-4=0 و x+6=0 را حل کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x و 10x را برای به دست آوردن 14x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

تفریق 25 را از 1 برای به دست آوردن -24 تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 14 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

-12 بار -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

196 را به 288 اضافه کنید.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 484 را به دست آورید.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-14±22}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -14 را به 22 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{6}$$

کسر \frac{8}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{4}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-14±22}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 22 را از -14 تفریق کنید.

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-5\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

4x و 10x را برای به دست آوردن 14x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

تفریق 1 را از 25 برای به دست آوردن 24 تفریق کنید.

$$3x^{2}+14x=24$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

24 را بر 3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

\frac{14}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{3} شود. سپس مجذور \frac{7}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

\frac{7}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

8 را به \frac{49}{9} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

\frac{7}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$