حل sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

برای x حل کنید

$$x=9$$

مراحل راه‌حل

-\sqrt{13-x} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\sqrt{x+7} را به توان 2 محاسبه کنید و x+7 را به دست آورید.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2} استفاده کنید.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\sqrt{13-x} را به توان 2 محاسبه کنید و 13-x را به دست آورید.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

4 و 13 را برای دریافت 17 اضافه کنید.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

17-x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

برای پیدا کردن متضاد 17-x، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

تفریق 17 را از 7 برای به دست آوردن -10 تفریق کنید.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

x و x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x-10\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

4 را به توان 2 محاسبه کنید و 16 را به دست آورید.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

\sqrt{13-x} را به توان 2 محاسبه کنید و 13-x را به دست آورید.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 16 در 13-x استفاده کنید.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

208 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

تفریق 208 را از 100 برای به دست آوردن -108 تفریق کنید.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

16x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

-40x و 16x را برای به دست آوردن -24x ترکیب کنید.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x^{2}-6x-27=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-27 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -27 است فهرست کنید.

$$1,-27 3,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

جواب زوجی است که مجموع آن -6 است.

$$a=-9 b=3$$

x^{2}-6x-27 را به‌عنوان \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-9=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=9 x=-3$$

9 به جای x در معادله \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

ساده کنید. مقدار x=9 معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

-3 به جای x در معادله \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

ساده کنید. مقدار x=-3 معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-2=2$$

9 به جای x در معادله \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

ساده کنید. مقدار x=9 معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

معادله \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=9$$