حل sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

برای x حل کنید

$$x=2$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

\sqrt{7x+67} را به توان 2 محاسبه کنید و 7x+67 را به دست آورید.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+5\right)^{2} استفاده کنید.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

20x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

7x و -20x را برای به دست آوردن -13x ترکیب کنید.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

تفریق 25 را از 67 برای به دست آوردن 42 تفریق کنید.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -4x^{2}+ax+bx+42 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -168 است فهرست کنید.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -13 است.

$$a=8 b=-21$$

-4x^{2}-13x+42 را به‌عنوان \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 21 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x+2=0 و 4x+21=0 را حل کنید.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

2 به جای x در معادله \sqrt{7x+67}=2x+5 جایگزین شود.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

ساده کنید. مقدار x=2 معادله را برآورده می کند.

$$9=9$$

-\frac{21}{4} به جای x در معادله \sqrt{7x+67}=2x+5 جایگزین شود.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

ساده کنید. مقدار x=-\frac{21}{4} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

معادله \sqrt{7x+67}=2x+5 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=2$$