حل sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

برای x حل کنید

$$x=5$$

$$x=1$$

مراحل راه‌حل

-\sqrt{x-1} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{3x+1} را به توان 2 محاسبه کنید و 3x+1 را به دست آورید.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2} استفاده کنید.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{x-1} را به توان 2 محاسبه کنید و x-1 را به دست آورید.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

تفریق 1 را از 4 برای به دست آوردن 3 تفریق کنید.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

3+x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

برای پیدا کردن متضاد 3+x، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

تفریق 3 را از 1 برای به دست آوردن -2 تفریق کنید.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

3x و -x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x-2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

4 را به توان 2 محاسبه کنید و 16 را به دست آورید.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{x-1} را به توان 2 محاسبه کنید و x-1 را به دست آورید.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 16 در x-1 استفاده کنید.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

16x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

-8x و -16x را برای به دست آوردن -24x ترکیب کنید.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

16 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

4 و 16 را برای دریافت 20 اضافه کنید.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x^{2}-6x+5=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=-5 b=-1$$

x^{2}-6x+5 را به‌عنوان \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و x-1=0 را حل کنید.

$$x=5 x=1$$

5 به جای x در معادله \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

ساده کنید. مقدار x=5 معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

1 به جای x در معادله \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

ساده کنید. مقدار x=1 معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

تمام راه حل‌های \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2 را لیست کنید.

$$x=5 x=1$$