حل {l}{x^2+2y^2=8}{y=m(x-2)+sqrt{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 8 } \\ { y = m ( x - 2 ) + \sqrt { 2 } } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(-2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{, }y=\frac{\sqrt{2}\left(2m|\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}m+1\right)}{2}|-\sqrt{2}m+1\right)}{2m^{2}+1}$$

مراحل استفاده از جایگزینی و فرمول درجه دوم

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب m در x-2 استفاده کنید.

$$y=mx-2m+\sqrt{2}$$

mx-2m+\sqrt{2} را با y در معادله جایگزین کنید، x^{2}+2y^{2}=8.

$$x^{2}+2\left(mx-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

mx-2m+\sqrt{2} را مجذور کنید.

$$x^{2}+2\left(m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

2 بار m^{2}x^{2}+2m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2m^{2}x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

x^{2} را به 2m^{2}x^{2} اضافه کنید.

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

8 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\left(2m^{2}+1\right)x^{2}+4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)x+2\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1+2m^{2} را با a، 2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right) را با b و -4+8m^{2}-8m\sqrt{2} را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{\left(4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

2\times 2m\left(-2m+\sqrt{2}\right) را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-4\left(2m^{2}+1\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4 بار 1+2m^{2}.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}+\left(-8m^{2}-4\right)\left(8m^{2}-8\sqrt{2}m-4\right)}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

-4-8m^{2} بار -4+8m^{2}-8m\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2}-64m^{4}+64\sqrt{2}m^{3}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

16m^{2}\left(-2m+\sqrt{2}\right)^{2} را به 16+32m\sqrt{2}-64m^{4}+64m^{3}\sqrt{2} اضافه کنید.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±\sqrt{32m^{2}+32\sqrt{2}m+16}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

ریشه دوم 16+32m^{2}+32m\sqrt{2} را به دست آورید.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{2\left(2m^{2}+1\right)}$$

2 بار 1+2m^{2}.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

اکنون معادله x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) را به 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} اضافه کنید.

$$x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2}$$

-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)+4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} را بر 2+4m^{2} تقسیم کنید.

$$x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

اکنون معادله x=\frac{-4m\left(-2m+\sqrt{2}\right)±4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}}{4m^{2}+2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} را از -4m\left(-2m+\sqrt{2}\right) تفریق کنید.

$$x=\frac{8m^{2}-4\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-4\sqrt{2}m}{4m^{2}+2}$$

8m^{2}-4m\sqrt{2}-4\sqrt{1+2m^{2}+2m\sqrt{2}} را بر 2+4m^{2} تقسیم کنید.

$$x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$

برای x، دو راه‌حل وجود دارد: \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} و \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}}. \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} را با x در معادله y=mx-2m+\sqrt{2} برای یافتن راه‌حل مربوطه برای y که برای هر معادله مناسب است، جایگزین کنید.

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m بار \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}+\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

اکنون \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}} را با x در معادله y=mx-2m+\sqrt{2} جایگزین کنید و برای یافتن راه‌حل مربوطه برای y که برای هر دو معادله مناسب است، حل کنید.

$$y=m\times \frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}-2m+\sqrt{2}$$

m بار \frac{2\left(2m^{2}-m\sqrt{2}-\sqrt{2m^{2}+1+2m\sqrt{2}}\right)}{1+2m^{2}}.

$$y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}+\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}m-2m+\sqrt{2},x=\frac{2\left(2m^{2}-\sqrt{2m^{2}+2\sqrt{2}m+1}-\sqrt{2}m\right)}{2m^{2}+1}$$