حل {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=600$$

$$y=400$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$6x+5y=5600$$

5y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x=-5y+5600$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

\frac{1}{6} بار -5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

55 بار -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

-\frac{275y}{6} را به 46y اضافه کنید.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

\frac{154000}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

هر دو طرف در 6 ضرب شوند.

$$y=400$$

400 را با y در x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5}{6} بار 400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2800}{3} را به -\frac{1000}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=600$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=600,y=400$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=600,y=400$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

برای مساوی کردن 6x و 55x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 55 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 6 ضرب کنید.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

ساده کنید.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

330x+276y=308400 را از 330x+275y=308000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

330x را به -330x اضافه کنید. عبارت‌های 330x و -330x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$275y-276y=308000-308400$$

275y را به -276y اضافه کنید.

$$-y=308000-308400$$

308000 را به -308400 اضافه کنید.

$$-y=-400$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$y=400$$

400 را با y در 55x+46y=51400 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$55x+46\times 400=51400$$

46 بار 400.

$$55x+18400=51400$$

18400 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$55x=33000$$

هر دو طرف بر 55 تقسیم شوند.

$$x=600$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=600,y=400$$