حل {l}{217x+13ny=913}{131x+217y=827}

$$\left. \begin{array} { l } { 217 x + 13 n y = 913 } \\ { 131 x + 217 y = 827 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-\frac{198121-10751n}{1703n-47089}$$

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

$$n\neq \frac{47089}{1703}$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$217x+13ny=913$$

13ny را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$217x=\left(-13n\right)y+913$$

هر دو طرف بر 217 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{217}\left(\left(-13n\right)y+913\right)$$

\frac{1}{217} بار -13ny+913.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}$$

\frac{-13ny+913}{217} را با x در معادله جایگزین کنید، 131x+217y=827.

$$131\left(\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}\right)+217y=827$$

131 بار \frac{-13ny+913}{217}.

$$\left(-\frac{1703n}{217}\right)y+\frac{119603}{217}+217y=827$$

-\frac{1703ny}{217} را به 217y اضافه کنید.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y+\frac{119603}{217}=827$$

\frac{119603}{217} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y=\frac{59856}{217}$$

هر دو طرف بر -\frac{1703n}{217}+217 تقسیم شوند.

$$y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

\frac{59856}{47089-1703n} را با y در x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)\times \frac{59856}{47089-1703n}+\frac{913}{217}$$

-\frac{13n}{217} بار \frac{59856}{47089-1703n}.

$$x=-\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)}+\frac{913}{217}$$

\frac{913}{217} را به -\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)} اضافه کنید.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}&-\frac{13n}{217\times 217-13n\times 131}\\-\frac{131}{217\times 217-13n\times 131}&\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}&-\frac{13n}{47089-1703n}\\-\frac{131}{47089-1703n}&\frac{217}{47089-1703n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}\times 913+\left(-\frac{13n}{47089-1703n}\right)\times 827\\\left(-\frac{131}{47089-1703n}\right)\times 913+\frac{217}{47089-1703n}\times 827\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10751n-198121}{47089-1703n}\\\frac{59856}{47089-1703n}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{10751n-198121}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

برای مساوی کردن 217x و 131x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 131 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 217 ضرب کنید.

$$131\times 217x+131\times 13ny=131\times 913,217\times 131x+217\times 217y=217\times 827$$

ساده کنید.

$$28427x+1703ny=119603,28427x+47089y=179459$$

28427x+47089y=179459 را از 28427x+1703ny=119603 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$28427x-28427x+1703ny-47089y=119603-179459$$

28427x را به -28427x اضافه کنید. عبارت‌های 28427x و -28427x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$1703ny-47089y=119603-179459$$

1703ny را به -47089y اضافه کنید.

$$\left(1703n-47089\right)y=119603-179459$$

119603 را به -179459 اضافه کنید.

$$\left(1703n-47089\right)y=-59856$$

هر دو طرف بر 1703n-47089 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

-\frac{59856}{1703n-47089} را با y در 131x+217y=827 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$131x+217\left(-\frac{59856}{1703n-47089}\right)=827$$

217 بار -\frac{59856}{1703n-47089}.

$$131x-\frac{12988752}{1703n-47089}=827$$

\frac{12988752}{1703n-47089} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$131x=\frac{131\left(10751n-198121\right)}{1703n-47089}$$

هر دو طرف بر 131 تقسیم شوند.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089},y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$