حل {l}{12x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13.333333333$$

$$y=55$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$12x+3y=5$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$12x=-3y+5$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12} بار -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

-\frac{y}{4}+\frac{5}{12} را با x در معادله جایگزین کنید، 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=70$$

3 بار -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=70$$

-\frac{3y}{4} را به 2y اضافه کنید.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=70$$

\frac{5}{4} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{5}{4}y=\frac{275}{4}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{5}{4} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=55$$

55 را با y در x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{4}\times 55+\frac{5}{12}$$

-\frac{1}{4} بار 55.

$$x=-\frac{55}{4}+\frac{5}{12}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{12} را به -\frac{55}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{40}{3}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\55\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

برای مساوی کردن 12x و 3x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 3 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 12 ضرب کنید.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 70$$

ساده کنید.

$$36x+9y=15,36x+24y=840$$

36x+24y=840 را از 36x+9y=15 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$36x-36x+9y-24y=15-840$$

36x را به -36x اضافه کنید. عبارت‌های 36x و -36x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$9y-24y=15-840$$

9y را به -24y اضافه کنید.

$$-15y=15-840$$

15 را به -840 اضافه کنید.

$$-15y=-825$$

هر دو طرف بر -15 تقسیم شوند.

$$y=55$$

55 را با y در 3x+2y=70 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$3x+2\times 55=70$$

2 بار 55.

$$3x+110=70$$

110 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-40$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{40}{3}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$