حل {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

برای A،B حل کنید

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب A+B در 3 استفاده کنید.

$$3A+3B-B=6$$

3B و -B را برای به دست آوردن 2B ترکیب کنید.

$$3A+2B=6$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3 را به توان 2 محاسبه کنید و 9 را به دست آورید.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2A+B در 9 استفاده کنید.

$$18A+9B-B=42$$

9B و -B را برای به دست آوردن 8B ترکیب کنید.

$$18A+8B=42$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن A در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، A را به دست آورید.

$$3A+2B=6$$

2B را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3A=-2B+6$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

\frac{1}{3} بار -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

-\frac{2B}{3}+2 را با A در معادله جایگزین کنید، 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

18 بار -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

-12B را به 8B اضافه کنید.

$$-4B+36=42$$

36 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-4B=6$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$B=-\frac{3}{2}$$

-\frac{3}{2} را با B در A=-\frac{2}{3}B+2 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{2}{3} را در -\frac{3}{2} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$A=1+2$$

2 را به 1 اضافه کنید.

$$A=3$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب A+B در 3 استفاده کنید.

$$3A+3B-B=6$$

3B و -B را برای به دست آوردن 2B ترکیب کنید.

$$3A+2B=6$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3 را به توان 2 محاسبه کنید و 9 را به دست آورید.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2A+B در 9 استفاده کنید.

$$18A+9B-B=42$$

9B و -B را برای به دست آوردن 8B ترکیب کنید.

$$18A+8B=42$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس A و B را استخراج کنید.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب A+B در 3 استفاده کنید.

$$3A+3B-B=6$$

3B و -B را برای به دست آوردن 2B ترکیب کنید.

$$3A+2B=6$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 3 را به توان 2 محاسبه کنید و 9 را به دست آورید.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2A+B در 9 استفاده کنید.

$$18A+9B-B=42$$

9B و -B را برای به دست آوردن 8B ترکیب کنید.

$$18A+8B=42$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

برای مساوی کردن 3A و 18A، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 18 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

ساده کنید.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

54A+24B=126 را از 54A+36B=108 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

54A را به -54A اضافه کنید. عبارت‌های 54A و -54A با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$36B-24B=108-126$$

36B را به -24B اضافه کنید.

$$12B=108-126$$

108 را به -126 اضافه کنید.

$$12B=-18$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$B=-\frac{3}{2}$$

-\frac{3}{2} را با B در 18A+8B=42 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای A حل کنید.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

8 بار -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

12 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$18A=54$$

هر دو طرف بر 18 تقسیم شوند.

$$A=3$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$