حل {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=5$$

$$y=-10$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 10، کوچکترین مضرب مشترک 5,10، ضرب شود.

$$2x-20=y$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-20-y=0$$

20 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$2x-y=20$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 7y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x+45+7y=0$$

45 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$5x+7y=-45$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2x-y=20$$

y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2x=y+20$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

\frac{1}{2} بار y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

\frac{y}{2}+10 را با x در معادله جایگزین کنید، 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

5 بار \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

\frac{5y}{2} را به 7y اضافه کنید.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

50 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{19}{2} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=-10$$

-10 را با y در x=\frac{1}{2}y+10 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

\frac{1}{2} بار -10.

$$x=-5+10$$

10 را به -5 اضافه کنید.

$$x=5$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=5,y=-10$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 10، کوچکترین مضرب مشترک 5,10، ضرب شود.

$$2x-20=y$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-20-y=0$$

20 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$2x-y=20$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 7y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x+45+7y=0$$

45 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$5x+7y=-45$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=5,y=-10$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 10، کوچکترین مضرب مشترک 5,10، ضرب شود.

$$2x-20=y$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x-20-y=0$$

20 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$2x-y=20$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 7y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x+45+7y=0$$

45 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$5x+7y=-45$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

برای مساوی کردن 2x و 5x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2 ضرب کنید.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

ساده کنید.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

10x+14y=-90 را از 10x-5y=100 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

10x را به -10x اضافه کنید. عبارت‌های 10x و -10x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-5y-14y=100+90$$

-5y را به -14y اضافه کنید.

$$-19y=100+90$$

100 را به 90 اضافه کنید.

$$-19y=190$$

هر دو طرف بر -19 تقسیم شوند.

$$y=-10$$

-10 را با y در 5x+7y=-45 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

7 بار -10.

$$5x-70=-45$$

70 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=25$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=5$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=5,y=-10$$